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Si la fonction f est continue par morceaux sur ℝ, et est 
périodique de période T, alors aux points de continuité de f on a :
 
| f(x)=a0+ |  | an cos( |  | )+bn sin( |  | ) | 
ou 
où les coefficients an, bn, n∈ N, (ou cn, n ∈ Z) sont les 
coefficients de Fourier de f et se calculent avec les fonctions :
fourier_an et fourier_bn ou fourier_cn. 
fourier_an
fourier_an a quatre ou cinq paramètres : une expression 
Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), 
la période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier an 
d’une fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et 
périodique de période T.
Si f est continue par morceaux 
fourier_an(Xpr,x,T,n,a) renvoie  an=2/T∫aa+Tf(x)cos(2π nx /T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un 
entier en tapant assume(n,integer).
Exemples 
- 
- Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur 
[−π;π[ par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
 On tape, pour avoir son coefficient a0 :fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi) On obtient :1 On tape, pour avoir son coefficient a1 :fourier_an(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi) On obtient :1 On tape, pour avoir son coefficient an (n≠ 0 et n≠ 1) :assume(n,integer) fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi) On obtient :0 
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par 
f(x)=x2.
 On tape, pour avoir son coefficient a0 :fourier_an(x^2,x,2,0,-1)
 On obtient :1/3 On tape, pour avoir son coefficient an (n≠ 0) :assume(n,integer) fourier_an(x^2,x,2,n,-1)
 On obtient :4*(-1)^n/(pi^2*n^2)
 
fourier_bn
fourier_bn a quatre ou cinq paramètres : une expression 
Xpr dependant d’une variable, le nom de la variable (par exemple x), la 
période T, un entier n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier bn d’une 
fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique 
de période T.
Si f est continue par morceaux fourier_bn(Xpr,x,T,n,a) renvoie :
 bn=2/T∫aa+Tf(x)sin(2π nx/T)dx
Si l’on veut que les calculs soient simplifiés il faut dire que n est un entier en tapant assume(n,integer).
Exemples 
- 
Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ 
par 
f(x)=1+cos(x)+sin(x).
 On tape, pour avoir son coefficient b1 :fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi) On obtient :1 On tape, pour avoir son coefficient bn (n≠ 1) :assume(n,integer) fourier_bn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi) On obtient :0 
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par 
f(x)=x2.
 On tape, pour avoir son coefficient bn (n≠ 0) :assume(n,integer) fourier_bn(x^2,x,2,n,-1)
 On obtient :0 
- Soit la fonction f, de période T=2, définie sur [−1;1[ par 
f(x)=x3.
 On tape, pour avoir son coefficient b1 :fourier_bn(x^3,x,2,1,-1)
 On obtient :(2*pi^2-12)/pi^3
 On tape, pour avoir son coefficient bn :assume(n,integer) fourier_bn(x^3,x,2,n,-1)
 On obtient :(-2*n^2*pi^2*(-1)^n+12*(-1)^n)/(n^3*pi^3)
 
fourier_cn
fourier_cn a quatre ou cinq paramètres : une expression 
Xpr, le nom de la variable (par exemple x), la période T, un entier 
n et a (a vaut 0 par défaut).
fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie le coefficient de Fourier cn d’une 
fonction de variable x définie sur [a,a+T[ par f(x)=Xpr et périodique 
de période T.
Si f(x)=Xpr est continue par morceaux sur ℝ,
fourier_cn(Xpr,x,T,n,a) renvoie 
 cn=1/T∫aa+Tf(x)e−2iπ nx/Tdx
Exemples
- 
Soit la fonction f, de période T=2π, définie sur [−π;π[ 
par f(x)=1+cos(x)+sin(x).
 On tape, pour avoir son coefficient c0 :fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,0,-pi) On obtient :1 On tape, pour avoir son coefficient c1 :fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,1,-pi) On obtient :(1-i)/2 On tape, pour avoir son coefficient c−1 :fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,-1,-pi) On obtient :(1+i)/2 On tape, pour avoir son coefficient cn (n≠ 0 et n≠ ± 1) :assume(n,integer) fourier_cn(1+cos(x)+sin(x),x,2*pi,n,-pi) On obtient :0 
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f 
périodique de période 2 et définie sur [−1;1[ par  f(x)=x2.
 On tape, pour avoir c0 :fourier_cn(x^2,x,2,0,-1)
 On obtient:1/3 On tape, pour avoir cn :assume(n,integer) fourier_cn(x^2,x,2,n,-1)
 On obtient:2*(-1)^n/(pi^2*n^2)
 
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f 
périodique de période 2 et définie sur [0;2[ par  f(x)=x2.
 On tape, pour avoir c0 :fourier_cn(x^2,x,2,0)
 On obtient:4/3 On tape, pour avoir cn :assume(n,integer) fourier_cn(x^2,x,2,n)
 On obtient:((2*i)*pi*n+2)/(pi^2*n^2)
 
- Déterminer les coefficients cn de Fourier de la fonction f 
périodique de période 2π, et définie sur [0;2π[ par f(x)=x2.
 On tape  :assume(n,integer) fourier_cn(x^2,x,2*pi,n)
 On obtient :((2*i)*pi*n+2)/n^2
 Si on ne met pas assume(n,integer) on obtient une expression non 
simplifiée :((2*i)*pi^2*n^2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
 (-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n^3)
 que l’on peut simplifier en remplacant exp((-i)*n*2*pi) par 1 :subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1) On obtient :((2*i)*pi^2*n^2+2*pi*n+-i+i)/pi/n^3
 expression que l’on peut simplifier avec normal et on trouve finalement :((2*i)*pi*n+2)/n^2
 Il est donc préférable d’écrire assume(n,integer).
 Donc si n ≠ 0 on a : 
Puis on tape :fourier_cn(x^2,x,2*pi,0)
 On obtient :4*pi^2/3
 Donc si n= 0 on a :
Remarque :
Lorsque l’on ne veut plus considérer n comme un entier on doit taper :
purge(n).
 Pour connaître les hypothéses faites sur une variable, par exemple n,
on tape :
about(n)
 
 
