- 
Avec un seul argument ou comme deuxième argument 0, les calculs sont 
exacts.
 On tape :hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]) ouhessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],0) On obtient :| ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 1/2 | 1/4 | 1 |  | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | , | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 3 | 8 | 5 | 5/2 | 2 |  | 2 | 1 | 1/2 | (−5)/4 | −1 |  | 0 | 2 | 1 | 2 | 0 |  | 0 | 0 | 2 | 3/2 | 2 |  | 0 | 0 | 0 | 13/8 | 7/2 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  
 On a en effet si :
 A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
 [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
 P,B:= hessenberg(A,0)
 pcar(A)=pcar(B)=[1,-10,13,71,-50,-113]
 inv(P)*A*P est égal à B
- Avec comme deuxième argument -1, les calculs sont approchés et la 
matrice B est triangulaire.
 On tape :hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],-1) On obtient (on donne le résultat avec 2 digits) :| ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 0.73 | −0.057 | −0.42 | −0.17 | −0.51 |  | 0.25 | −0.53 | 0.72 | −0.38 | −0.048 |  | 0.35 | −0.44 | −0.3 | 0.19 | 0.74 |  | 0.34 | 0.68 | 0.17 | −0.46 | 0.43 |  | 0.41 | 0.25 | 0.44 | 0.76 | −0.063 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  | , |  
 |  | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 6.7 | 8.7e−15 | −2e−13 | 2.7e−14 | −1.4e−13 |  | 0.0 | 4.6 | 0 | 0 | 0 |  | 0.0 | 0.0 | −1.9 | 0 | 0 |  | 0.0 | 0.0 | 0.0 | 1.7 | 0 |  | 0.0 | 0.0 | 0.0 | −0.0 | −1.2 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  
 On a en effet si :
 A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
 [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
 P,B:= hessenberg(A,-1)
 inv(P)*A*P est égal à B en calcul numérique.
 Remarque
 hessenberg(A,-1) est identique à SCHUR(A) qui est une commande 
Xcas compatible avec les calculatrices HP.
- Avec comme deuxième argument -2, les calculs sont approchés et la 
matrice P est orthogonale et la matrice B a ses
coefficients sous-sous-diagonaux nuls.
 On tape :hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],-2) On obtient (on donne le résultat avec 2 digits) :| ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |  | 0 | 0.5 | −0.75 | 0 | −0.43 |  | 0 | 0.5 | 0.45 | −0.71 | −0.21 |  | 0 | 0.5 | −0.15 | 0 | 0.85 |  | 0 | 0.5 | 0.45 | 0.71 | −0.21 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  | , |  
 |  | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 3.0 | 4 | 0.0 | 1.6e−14 | 5.4e−14 |  | 4 | 2.2 | 0.83 | 0.0 | 0.0 |  | 0 | 0.83 | 0.75 | 1.7 | −1.4e−14 |  | 0 | 0 | 1.7 | 0.5 | 2 |  | 0 | 0 | 0 | 2 | 3.5 | 
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |  
 On a en effet si :
 A:=[[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1],
 [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]]
 P,B:= hessenberg(A,-2)
 inv(P)*A*P est égal à B et inv(P) est égal à tr(P) en calcul numérique.
- Avec comme deuxième argument n>1 et n premier, les calculs sont modulo n et la 
matrice B est triangulaire.
 On tape :hessenberg([[3,2,2,2,2],[2,1,2,-1,-1],[2,2,1,-1,1], [2,-1,-1,3,1],[2,-1,1,1,2]],13) On obtient| ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  | | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |  | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |  | 0 | −12 | 1 | 0 | 0 |  | 0 | 66 | −6 | 1 | 0 |  | 0 | 131 | −12 | 4 | 1 | 
 | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | , | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 | | 3 | −5 | −8 | 10 | 2 |  | 2 | 1 | 7 | −5 | −1 |  | 0 | 2 | 1 | −5 | −11 |  | 0 | 0 | 7 | −5 | −12 |  | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 
 | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 |