 
 
 
1.33.3  Ανάπτυγμα σε σειρά :  series
 
	
series παίρνει από 1 μέχρι 4 ορίσματα :
- 
μια παράσταση που εξαρτάται από μια μεταβλητή (από προεπιλογή 	
x),
- μια ισότητα variable=value (π.χ. x=a) για τον υπολογισμό του αναπτύγματος σε σειρά, από προεπιλογή 	
x=0, 
- έναν ακέραιο n, την τάξη του αναπτύγματος σε σειρά,
από προεπιλογή 5,
- μια κατεύθυνσση -1, 1 (για ανάπτυγμα σε σειρά χωρίς κατεύθυνση)
ή 0 (για ανάπτυγμα σε σειρά με 2 κατευθύνσεις) (από προεπιλογή 	
0).
Σημειώσατε ότι η σύνταξη 	
…,x,n,a,... 
(αντί για 	
…,x=a,n,...) είναι επίσης αποδεκτή.
	
series επιστρέφει το πολυώνυμο στο 	
x-a, συν ένα υπόλοιπο της μορφής:
	
(x-a)^n*order_size(x-a)
όπου 	
order_size είναι μια συνάρτηση τέτοια ώστε,
| ∀ r>0, |  | xr 	
order_size(x) = 0 | 
Η τάξη που επιστρέφεται από την 	
series μπορεί να είναι μικρότερη από n εάν γίνονται απαλοιφές μεταξύ αριθμητών και παρονομαστών, για παράδειγμα
Παραδείγατα :
- 
ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του 	
x=0
 Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά της παράστασης
x3+sin(x)3/x−sin(x) 
στην περιοχή του 	
 x=0.
 Είσοδος :	
series(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)))
 Έξοδος είναι ανάπτυγμα μόνο 2ης τάξης :	
6+-27/10*x^2+x^3*order_size(x)
 Έχουμε χάσει 3 τάξεις γιατί ο μικρότερος βαθμός του αριθμητή και του παρονομαστή
είναι 3. Για να πάρουμε ανάπτυγμα 4ης τάξης, πρέπει να ζητήσουμε
n=7, εισάγοντας:	
series(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)),x=0,7)
 ή:	
series(x^3+sin(x)^3/(x-sin(x)),x,0,7)
 Έξοδος είναι ανάπτυγμα 4ης τάξης :	
6+-27/10*x^2+x^3+711/1400*x^4+
x^5*order_size(x)
 
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του 	
x=a
 Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 4ης τάξης της cos(2x)2 στην περιοχή του
x=π/6.
 Είσοδος:	
series(cos(2*x)^2,x=pi/6, 4)
 Έξοδος :	
1/4+(-(4*sqrt(3)))/4*(x-pi/6)+(4*3-4)/4*(x-pi/6)^2+ 32*sqrt(3)/3/4*(x-pi/6)^3+(-16*3+16)/3/4*(x-pi/6)^4+ (x-pi/6)^5*order_size(x-pi/6)
 
- ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του 	
x=+∞ ή 	
x=-∞
- 
Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 5ης τάξης της arctan(x) στην περιοχή του
	
x=+∞.
 Είσοδος :	
series(atan(x),x=+infinity,5) Έξοδος :	
pi/2-1/x+1/3*(1/x)^3+1/-5*(1/x)^5+
(1/x)^6*order_size(1/x)
 Σημειώστε ότι η μεταβλητή του αναπτύγματος και το όρισμα της συνάρτησης
	
order_size είναι
 h=1/x →x→ + ∞ 0 .
- Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1 στην περιοχή του
	
x=+∞.
 Είσοδος :	
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,3) Έξοδος είναι ανάπτυγμα 1ης τάξης:	
2*x+1+2/x+(1/x)^2*order_size(1/x)
 Για να πάρουμε ανάπτυγμα 2ης τάξης 1/x, εισάγουμε :	
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=+infinity,4) Έξοδος :	
2*x+1+2/x+17/6*(1/x)^2+(1/x)^3*order_size(1/x)
 
- Βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης (2x−1)e1/x−1) στην περιοχή του 	
x=-∞.
 Είσοδος :	
series((2*x-1)*exp(1/(x-1)),x=-infinity,4) Έξοδος:	
-2*(-x)+1-2*(-1/x)+17/6*(-1/x)^2+
 (-1/x)^3*order_size(-1/x)
 
 
- ανάπτυγμα σε σειρά με μονή κατεύθυνση
 Η τέταρτη παράμετρος υποδεικνύει την κατεύθυνση :- 
1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με
  x>a,
- -1 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με 
  x<a,
- 0 για ανάπτυγμα σε σειρά στην περιοχή του x=a με
  x ≠ a.
 Για παράδειγμα, 
βρείτε το ανάπτυγμα σε σειρά 2ης τάξης της παράστασης  (1+x)1/x/x3  
στην περιοχή του x=0+.
 Είσοδος :	
series((1+x)^(1/x)/x^3,x=0,2,1)
 Έξοδος :	
exp(1)/x^3+(-(exp(1)))/2/x^2+1/x*order_size(x)
 
 
 
